Comment optimiser ses chances de gain au jeu de marienbad ou jeu de Nim : Pour jouer

Régles :
A partir de une ou plusieurs pile, les joueurs retirent un certain nombre d'objet (des allumettes le plus souvent) dans la même pile : minimun une et maximum fixé par avance ou illimité ou le nombre d'allumettes restant dans la pile.

Le joueur qui enléve la derniére allumette du jeu a gagné.

Cas 1 : Une seule pile avec possibilité d'enlever k allumettes :

En partant d'une longueur de pile de L, comment réussir à prendre la derniére allumette ? (Ex de Fort Boyart).

Ex L = 19 et k = 3. je joue en premier.

Nous pouvons considérer que si notre adversaire nous laisse 1,2 ou 3 allumettes nous gagnons. Par extrapolation nous devons lui laisser 4 allumettes et ainsi de suite...

ex : Joueur et Opposant

Si l'on veut mathématiser la chose : il faut toujours laisser un nombre (k+1)n à on opposant. (n=0,1,2 : position = 0, 4, 8)

Cas 2: deux piles :

toujours égaliser si vous le pouvez le contenu des deux piles.

Cas 3: Plusieurs piles :

ex : 2,5, et 6 dans 3 piles

A - Convertir chaque rangée en nombre binaire

3 = 011

5 = 101

6 = 110

B- executer un 'ou exclusif' sur les colonnes (en fait 1 si le nombre de 1 est impair et 0 si le nombre de 1 est pair)

ce qui donne dans notre exemple : 0000

rappel du ou exclusif :

Si le tableau est tel qu'il y a un nombre pair 1 dans chaque colonne (comme c'est le cas dans l'exemple choisi : la première colonne contient deux 1, la seconde deux 1, la troisième deux 1), nous dirons que c'est une position paire. Dans le cas contraire, ce serait une position impaire.

Il est clair qu'en général une position prise au hasard est impaire.Avec quelque attention, on s'apercevra rapidement de la justesse des lois suivantes :

- Loi I : si un joueur laisse à son partenaire une position paire, celui-ci est obligé de lui rendre une position impaire, puisqu'il modifie un seul tas, donc au moins une colonne.

- Loi II : on peut toujours transformer une position impaire en une position paire. C'est là le point délicat, il faut prendre des allumettes dans un seul tas, de façon à rendre paires toutes les colonnes qui ne le sont pas.

- Loi III : Si l'on transforme à chaque tour une position impaire en position paire, on gagne à tous les coups.

Pour éxécuter la troisiéme loi, il faut calculer dans quelle rangée prendre les allumettes pour ainsi équilibrer en une position paire.

L'exemple pris (3,5,6) est considéré pour le joueur suivant comme perdant, puisque nous sommes en position paire.

Un autre exmple :

3,5,7 c'est à nous de jouer :

Nous sommes en position impaire, il faut rendre la position paire : changer la colonne 3 prendre 1 allumette sans bouger les colonnes 1 et 2 => changer la ligne 3 de 7 à 6 ou la ligne 2 de 5 à 4 ou la ligne 1 de 3 à 2.

Encore un autre exmple :

5,6,10, c'est à nous de jouer :

Nous sommes en position impaire : changer la colonne 1 et 4 prendre une allumette dans chacune de ces colonnes sans bouger aux autres => transformer le 10 en 3 (seule possibilité car c'est la seule ligne qui bougera la colonne 1.

Une autre variante implique que le joueur qui prend la derniére allumette perd (=> autre stratégie)